Probabilidade: o que é e como aplicar esse conceito?

O que é probabilidade?

Probabilidade é o grau de segurança que temos sobre a ocorrência de um evento.Os conceitos de probabilidade são importantes por si só, e têm importantes aplicações em processos decisórios onde a incerteza está presente.

E, nesse post, falaremos sobre alguns conceitos de probabilidade importantes para serem dominados por você, que trabalha em projetos de melhoria. A ideia aqui é abordar o conceito de maneira introdutória e, se você é dos que gostam de aprofundar, pode ver nossos cursos de Green Belt ou Black Belt.

Apesar de parecerem complicado à priori, são conceitos que depois de dominados, vão ajudar muito em seus projetos e empresas.

Há outra maneira de definirmos probabilidade?

Um experimento aleatório é um processo que apresenta como resultado qualquer um de um conjunto de possíveis valores, sem que a ocorrência de um particular evento possa ser predita com certeza. A maneira mais comum de medir a incerteza de um evento que pode resultar de um experimento aleatório é através da atribuição de um valor que reflete a chance de ocorrência desse evento. Esse valor é chamado de probabilidade.

Temos, em linas gerais, 3 tipos de probabilidade: a clássica, a frequentista e a subjetiva.

O que é probabilidade clássica?

Historicamente, probabilidade clássica é a forma mais antiga de medir incerteza. Essa medida foi desenvolvida basicamente através dos jogos de azar. O conceito clássico de probabilidade aplica-se somente quando todos os possíveis resultados são igualmente prováveis.

Suponha que um experimento aleatório tem um total de n resultados possíveis Ri, i = 1, 2, 3, 4, …, n , e que cada um desses resultados é igualmente provável. Então, a chance de ocorrência de cada um é 1/n.

Expressamos isso de uma maneira formal dizendo:

P(Ri) = 1/n,   onde  “P” simboliza Probabilidade.

Se um evento “E” é formado por m eventos elementares igualmente prováveis, então:

P (E) = m/n.

O exemplo mais clássico de aplicação da probabilidade clássica é o lançamento de um dado honesto. O conjunto de resultados possíveis é {1, 2, 3, 4, 5, 6} e cada resultado ocorre com probabilidade 1/6. Se o evento E é formado pelos resultados pares, então P (E) = P (2, 4, 6) = 3/6 = 1/2.

Note que estamos falando aqui de um dado hipotético, para o qual assumimos que as faces são igualmente prováveis. Nada garante que um dado real tenha que ter faces igualmente prováveis.

Se o experimento aleatório obedece à condição de eventos elementares igualmente prováveis, então todas as probabilidades relacionadas com o experimento podem ser calculadas a priori, sem necessidade de experimentação. Entretanto, na maioria das situações, temos de estimar a probabilidade a partir da realização de experimentos. Para tanto, usamos a abordagem frequentista para calcular probabilidades.

O que é probabilidade frequentista

Probabilidade frequentista: suponha que um experimento que tem como resultados possíveis {R1, R2, R3, …, Rn} é realizado um número n de vezes, e que cada resultado Ri ocorre ni vezes. Então a frequência relativa do evento Ri é ni/n. Se n é suficientemente grande, ni/n converge para P (Ri), e usamos o valor ni/n como o valor aproximado de P (Ri). A aplicação da abordagem frequentista pressupõe que nas n repetições do experimento o sistema esteja estável, ou em equilíbrio. Em outras palavras, que o comportamento das probabilidade não mudem

Como Sni = n, temos que S(ni/n) = Spi = 1.

O que é probabilidade subjetiva?

Outra abordagem é tratar probabilidade como uma medida de crença sobre a ocorrência de um evento. Por exemplo, observando as condições de tempo hoje, uma pessoa afirma, baseada em sua experiência, que a chance de chover amanhã é 40%. Esse número é a sua probabilidade pessoal, ou subjetiva sobre o evento “chover amanhã”. Um especialista em mercado de ações afirma, baseado em sua experiência e nas informações que tem disponível, que a chance que as ações de uma determinada empresa subam no pregão é de 70%.

Qualquer que seja a interpretação, ou abordagem, as leis básicas de probabilidade são as mesmas. Em lugar de desenvolver essas leis com rigor formal, vamos listá-las aqui, apelar para a intuição do leitor para sua devida compreensão, e ilustrá-las por meio de alguns exemplos simples.

Quais são as leis da Probabilidade?

Denotaremos por uma letra maiúscula A, B, … um evento aleatório. Em geral, um evento aleatório é um conjunto de objetos, e utilizaremos a linguagem da teoria dos conjuntos para listar as leis da probabilidade. Por exemplo, se um experimento aleatório consiste em lançar um dado e definimos o evento A como sendo formado pelos resultados pares, então A = {2, 4, 6}. Se estivermos estudando o tempo de vida de leite longa vida, podemos definir o evento A como sendo formado por todas as caixas que duram um tempo maior que 90 dias.   Então, A ={t: t > 90}. Observe nesse exemplo que a observação é o tempo de vida da caixa, portanto os eventos são formados por intervalos de tempo.

Denotaremos por S o conjunto de todos os resultados possíveis. No primeiro exemplo,  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No segundo exemplo, S = {t: t > 0}. Observe que no segundo exemplo consideramos  formado por todos os tempos maiores ou iguais a zero. Embora se saiba que há um limite para o tempo de vida de uma caixa de leite longa vida, por razões que ficarão claras mais à frente, é mais conveniente modelar o conjunto dos valores possíveis para o tempo de vida como formado por todos os valores maiores ou iguais a zero.

Denotaremos por P (A) a probabilidade de ocorrência do evento A

1º Lei da Probabilidade.

Qualquer que seja o evento A, a sua probabilidade deve ficar entre 0 e 1.

Se S representa o conjunto de todos os resultados possíveis e ø o conjunto vazio, então,

      P (S) = 1       e      P (ø) = 0.

2º Lei da Probabilidade.

Se A1 e A2 são dois eventos que não têm nenhum elemento em comum dizemos que A1 e A2 são disjuntos (A1 ∩ A2 = ø). Se dois eventos A1 e A2 são disjuntos, então

P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2)

Obs. O evento (A1 ∪ A2) é formado por todos os elementos de A1 e de A2.

Generalizando, se A1, A2, …, Ak são eventos mutuamente disjuntos, então,

P (A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak) = P (A1) + P (A2) + … + P (Ak)

3º Lei da Probabilidade.

Representamos por A^c o evento formado por todos os resultados possíveis que não fazem parte de A. Dizemos que A^c é o complementar do evento A. Temos,

  A^c  ∪ A = S    e    A^c  ∩ A = ø.

Então temos:

P (A^c) = 1 – P (A)

4º Lei da Probabilidade.

Se A1 e A2 são dois eventos quaisquer, então,

P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) – P (A1 ∩ A2)

O que é distribuição de Probabilidade?

Em muitas situações, os resultados possíveis de um experimento são números. Por exemplo, o diâmetro de uma peça sendo fabricado, o valor do rendimento da poupança num determinado dia, o volume negociado diariamente na bolsa de valores de São Paulo, o tempo de vida de um equipamento, etc. Quando o resultado não é numérico, podemos fazer uma associação dos  resultados possíveis com um número. Por exemplo, podemos atribui o número 1 ao sexo masculino e o número 2 ao sexo feminino. Portanto, é sempre possível associar um número ao resultado de um experimento. Dessa forma, simbolizamos os possíveis resultados de um experimento aleatório por uma letra ( em geral X, Y, Z), e chamamos essa letra de variável aleatória. Então, variável aleatória nada mais é do que uma função que tem como valores todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Existem diversos tipos de distribuição de probabilidade, vamos conferir algumas delas e suas respectivas finalidades:

• Distribuição Binomial: é aplicável nos casos onde os resultados que uma variável assume podem ser agrupados em duas categorias. Estas por sua vez devem ser mutuamente excludentes (sem dúvidas para classificação) e coletivamente exaustivas (não pode ser classificada em uma terceira categoria);
• Distribuição de Poisson: pode ser aplicada nos casos onde existe a probabilidade de ocorrência em um espaço, área ou intervalo contínuo;
• Distribuição  Exponencial: descreve a possibilidade de uma variável aleatória discreta expressar a probabilidade de uma série de eventos ocorrerem em um certo período de tempo, sendo esses independentes do último evento ocorrido;
• Distribuição de Weibull: trata-se de uma distribuição extremamente flexível e pode assumir formas variadas. É usada nas áreas de PCP para modelar tempos de processo, setup e tempos de falha de diversos componentes mecânicos e elétricos;
• Distribuição Normal: muitos autores a classificam como a mais importante das distribuições pois representa a distribuição de frequência de grande parte dos fenômenos naturais e serve como aproximação da distribuição binomial para grandes valores de “n”.

Quais os tipos de variáveis aleatórias?

É comum classificar as variáveis aleatórias de acordo com o número de resultados possíveis que ela pode assumir. Se o número de valores possíveis é finito ou infinito enumerável chamamos a variável aleatória de discreta. Se o conjunto de valores possíveis é infinito não enumerável, então a variável aleatória é contínua.

• Exemplos de variáveis aleatórias discretas: o número de filhos de um casal, o número de estrelas visíveis numa determinada noite, o rendimento de uma família expressa em múltiplos inteiros de um salário mínimo, etc.
• Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: o tempo de vida de um equipamento, a taxa de juro diária, a altura de uma pessoa, etc.

Como já discutimos anteriormente, a rigor não existe variável aleatória continua, pois, todo sistema de medida tem sensibilidade limitada e a escala resultante é discreta. Mas é conveniente adotarmos como modelo que a sensibilidade do sistema de medidas é tão grande como se queira de tal forma que podemos ter como resultado da medida qualquer valor dentro de um intervalo.

Como compreendemos probabilidade?

Desse modo, passamos para vocês um pouco dos conceitos que abordamos em detalhes na Certificação Black Belt. Lá, é possível passar cada um dos conceitos da Estatística que nos ajuda a complementar o conhecimento necessário para o gerenciamento de atividades produtivas. É isso, que nos faz dominar a voz pela qual o processo se comunica conosco. Isso é a beleza do Lean Seis Sigma.

Como a Probabilidade se aplica em nossa vida?

Probabilidade: muitas vezes, quando vamos ao médico, somos surpreendidos por probabilidade. Não raro foram às vezes em que fiquei angustiado quando me diziam que 80% dos casos como o meu evoluem bem, mas que há chances de 5 a 10% de ocorrer alguma complicação futura. Quando recebemos um prognóstico como este, ficamos com medo. Como bom engenheiro, indagava ao médico se não havia mais algum exame a ser feito, para garantir 100% de assertividade e a resposta, na maioria das vezes, era não. Diante da negativa, íamos atrás de uma segunda opinião. Sim, deve haver outro médico que sabe mais sobre o meu problema. Mas na maioria das vezes, se a opinião do segundo não era igual, porém muito parecida.

Dias atrás, caminhando ao final do dia, conversava com meus amigos sobre este assunto. Por que será que ficamos tão “encucados” quando deparamos com uma situação como esta? Discorrendo sobre teorias que pudessem explicar o fato, surgiu como causa raiz a nossa educação, tanto na escola como e em casa. Na escola, do primário até o colegial, fala-se em probabilidade somente nas aulas de análise combinatória, todo o resto é determinismo puro.

Probabilidade e o determinismo?

Qual a aceleração da gravidade?

9,81m/s², pouco importa, na visão do professor, se estamos sobre um campo de petróleo ou um vulcão. Qual é a força necessária para acelerar a 5m/s² um veículo de massa 1250 kg? Sacamos logo a velha fórmula do Newton que diz que F=m.a. Na aula de Biologia é a mesma coisa. Decoramos a evolução da vida (poríferos, celenterados, platelmintes…) e muitas coisas mais, mas sempre ancorados no puro determinismo.

Ao chegar à faculdade, pelo menos a de engenheira, continuamos na mesma toada. Calculo 1, 2, 3 e numérico. Física 1, 2, 3 e 4. Química geral, 1, 2. E, somente uma matéria de Estatística. Isto mesmo, uma matéria de Estatística, dada geralmente por um professor corajoso, pois este tem de explicar conceitos “nunca dantes abordados”.  Além disto, o professor tem de convencer aos alunos que a matéria é importante e deve ser estudada. Se deixar para os alunos, a matéria será colocada em última instância, pois não é pré-requisito para nenhuma outra.

Eu tive sorte. Tive um ótimo professor de Estatística na faculdade que conseguiu me acordar. Mostrou-me a importância da probabilidade e dos modelos estocásticos na minha vida, o que ajudou demais na pós-graduação. Não há experimentos bem realizados se não houver a Estatística por trás. Por meio deste professor, conheci os livros do Taleb (começando pelo Enganado pela Aleatoriedade até o Antifrágil), comecei a entender a loucura da bolsa de valores, as chances, riscos, enfim, comecei a entender a Estatística. Quando ingressei no green belt, consegui pavimentar todos estes conceitos e a entender meus médicos. Medicina não é uma Ciência exata, como diria meu tio, mas as outras também não são. E veremos muito mais no Black Belt.