Funções Exponenciais e o Novo Coronavírus

exponencial
31 de março de 2020
Última modificação: 22 de julho de 2021

Autor: Guilherme Mendes
Categorias: Blog

Introdução

Funções exponenciais são vastamente utilizadas na Matemática e em outras ciências correlacionadas com cálculos, como: Química, Biologia, Física, Engenharia, Astronomia, Economia, e até mesmo a Geografia. Na Matemática financeira, por exemplo, está associada ao crescimento de um capital aplicado a uma determinada taxa de juros compostos.

Outro fenômeno que é bastante estudado e que pode ser modelado por uma função exponencial é o decaimento radioativo, na Química. Na Geografia, pode ser usada em algumas situações para determinar o crescimento de algumas populações e, por fim, na Biologia apresenta-se como uma maneira de moldar o crescimento de bactérias em uma colônia, ou até mesmo o espalhamento de um vírus como o novo coronavírus, que será objeto do nosso estudo.

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Mas o que o novo Coronavírus tem a ver com funções exponenciais?

No dia 21 de fevereiro, desembarcava no Brasil, mais especificamente na cidade de São Paulo, um homem de 61 anos que tinha ido a trabalho na Itália. Após apresentar os sintomas do novo coronavírus (febre, dor de garganta, coriza e tosse), dirigiu-se ao hospital, onde foi confirmado por meio de testes o primeiro caso da doença no país.

A partir disso, muitas pesquisas foram desenvolvidas a respeito do vírus como: tipo de vírus (DNA ou RNA), sintomas, prevenções, tratamentos, vacinas e sua forma de transmissão. Muitos especialistas disseram que, pelo fato de ser um novo vírus, nenhuma pessoa no planeta possui anticorpos contra ele, sendo de 100% a chance de transmissão sem que haja nenhum tipo de prevenção.

Como o vírus assemelha-se muito ao vírus da influenza (também conhecida como gripe), sua transmissão se dá através de vias aéreas, uma maneira bastante difícil de ser contida, uma vez que não é possível identificar o vírus no ar ou em qualquer superfície.

A partir de então, muito se falou que a curva de transmissão do vírus assemelha-se a de uma função exponencial, desta forma, vamos demonstrar aqui quais são as características de uma função exponencial a fim de que todos entendam o comportamento do vírus na população e sua forma de transmissão.

Funções Exponenciais

Crescimento exponencial é uma função matemática que pode ser usada em várias situações. A fórmula de uma função exponencial nos diz o número de casos em um determinado momento, no caso do novo coronavírus, seria o número de pessoas infectadas.

Em outros casos de uso de crescimento (ou decrescimento) exponencial, esse número pode ser do tamanho de uma população animal ou do valor da sua conta bancária (se você tiver a sorte de ter boas taxas de juros).

A razão para usar o crescimento exponencial para modelar o surto do novo coronavírus é que os epidemiologistas estudaram esses tipos de surtos e é sabido que o primeiro período de uma epidemia segue o crescimento exponencial.

A Fórmula do Crescimento Exponencial

O crescimento exponencial é caracterizado pela seguinte fórmula:

X(t) = X0 . bt , onde:

  • X(t) é o número de casos de coronavírus em qualquer instante de tempo “t”;
  • X0 é o número de casos iniciais, também chamado de valor inicial;
  • b é o número de pessoas infectadas por cada pessoa doente, também chamado de fator de crescimento;
  • t é o tempo, que neste caso será medido em dias.

A fim de tornar nossa análise o mais verídica possível e tentarmos fazer estimativas mais reais vamos olhar para os seguintes dados da doença:

  • Uma pessoa infectada transmite o vírus para 2 a 3 pessoas em média ;
  • O tempo de incubação do vírus é em média de 5 a 6 dias, podendo chegar até 14 dias.

Obs: Estas são apenas estipulações grosseiras a fim de contextualizar as funções exponenciais com o cenário atual do novo coronavírus. Algumas matérias dizem que não necessariamente uma pessoa infectada irá transmitir o vírus para 2 ou 3 pessoas. Isso varia de ser humano para ser humano, da mesma forma que o tempo de incubação do vírus. O objetivo aqui é contextualizá-los a respeito deste tema quando um profissional da área da saúde cita a distribuição exponencial.

Simulação de Funções Exponenciais e o Novo Coronavírus

Vamos agora fazer duas simulações para o caso do novo coronavírus. Vamos considerar primeiramente o cenário em que uma pessoa infectada consegue infectar outras 2 pessoas sadias, ou seja, b = 2. Para o segundo caso, vamos estipular que uma pessoa infectada consegue transmitir o vírus para outras 3 pessoas sadias. Quanto ao tempo em dias, vamos utilizar em ambos os casos (b=2 e b=3), os tempos “t” de 6 dias (caso mais real) e 14 dias (pior caso possível) de transmissão. Vamos conferir os cenários na tabela abaixo.

Funções Exponenciais

Em seguida, podemos usar esta fórmula para calcular o valor de y para cada valor de t. Quando fazemos isso, obtemos os números de pessoas infectadas a cada etapa do tempo, como visto na tabela. Isso mostra que a partir de 1 pessoa e com um fator de crescimento de b=2 por pessoa, obtemos mais de 16.000 casos após 14 dias. Para o caso em que b=3, após 14 dias obteremos mais de 4.700.000 casos. Preocupante, não acha?

Representando isso graficamente para os seis primeiros dias, começamos a ver um gráfico que se parece muito com as curvas muito alarmantes que vemos sobre o Coronavírus, porém em uma época de crescimento do número de casos.

Funções Exponenciais

Uma observação importante é que utilizamos apenas os seis primeiros dias, pois se utilizássemos os 14 dias, a escala do gráfico não nos permitiria enxergar as curvas uma vez que 16.000 é um número extremamente menor que 4.700.000. Perceba que, ambas as curvas tem o mesmo comportamento, com a diferença que a curva de b=3 converge mais rápido que a curva de b=2.

Regressão Linear

Agora, sabemos que esse gráfico tem mais ou menos a forma correta, mas para encontrar exatamente a fórmula que modela a maneira como se dão as transmissões, precisamos fazer uma etapa adicional para tornar nossa análise ainda mais útil. Precisamos encontrar o verdadeiro fator de crescimento da epidemia a partir de observações diárias empíricas. Esse fator de crescimento é obtido a partir de um modelo estatístico famoso, conhecido como regressão linear.

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A regressão linear encontra a linha que melhor representa as variáveis de entrada com a variável de saída. Mas na verdade, como você deve ter observado nos gráficos de dispersão, é muito difícil encontrar uma linha que passe sobre todos os dados.

A regressão linear, como já dito acima, faz parte da estatística e ela é usada em diversas metodologias e ferramentas da qualidade como gráficos de dispersão, histogramas e gráficos de controle. Todas essas ferramentas estão inclusas no Green Belt FM2S disponível em nossa plataforma EAD.

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Por que devemos nos atentar à situação?

Vimos então que o vírus se comporta (de maneira grosseira) parecido às funções exponenciais. A medida em que a quantidade de infectados progride exponencialmente, também progride a necessidade de leitos em hospitais e ambulatórios e é justamente aí que moram os problemas.

Apesar da baixa mortalidade, este vírus tem causado complicações respiratórias, necessitando em alguns casos do uso de respiradores artificiais. A função destes é realizar a respiração por você no caso de uma insuficiência respiratória causada pelo vírus. Com uma grande demanda por leitos e respiradores em um período de tempo muito curto (visto acima pelo comportamento exponencial de transmissão do vírus), a grande preocupação das autoridades de saúde é que muitas pessoas necessitem ao mesmo tempo do uso de leitos e destes equipamentos. É válido ressaltar também que ainda não há remédios comprovados e disponíveis para tratar o vírus.

Portanto, a única maneira de conter o avanço desta curva exponencial é ficando em casa.

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