Probabilidade clássica

15 de dezembro de 2017
Última modificação: 15 de dezembro de 2017

Autor: Murilo Fms
Categorias: Blog

O que é probabilidade clássica?

Probabilidade clássica é uma parte da probabilidade que calcula analiticamente as chances de determinado fenômeno acontecer. Ela é calculada como sendo o número de vezes que um fenômeno ocorre dividido pelo número de vezes que ele poderia ocorrer. Por exemplo, para um dado, a chance de sair o número 1 é 1/6.

Ela é muito aplicada à negócios e qualidade. Em nosso curso de Black Belt, exploramos a fundo este conceito, mas vamos conhecer um pouco mais sobre essa técnica neste blog.

Probabilidade clássica, problemas de contagem, jogos e controle de qualidade.

Todos nós temos uma noção intuitiva de probabilidade. Por exemplo, se perguntarmos a alguém se chove ou não amanhã, muitos responderão que provavelmente irá chover ou que provavelmente não irá chover. Em raras circunstâncias, haverá certeza absoluta de que não chove ou de que chove. Se pedirmos a previsão de outros fenômenos em que intervêm o acaso, como por exemplo, ganhar na loteria, as respostas serão idênticas. Chover ou ganhar na loteria são exemplos de fenômenos aleatórios. Aos fenômenos naturais em que se supõe intervir o acaso, mas para os quais se podem encontrar taxas de realização constante, nós chamamos de fenômenos aleatórios. Isto é, um fenômeno que quando observado repetidamente sob as mesmas condições, produz resultados diferentes.

A teoria das probabilidades é um conjunto de estruturas matemáticas que servem para formular modelos de fenômenos aleatórios, que nos permitem calcular as probabilidades de certos acontecimentos e a partir disso, realizar certas previsões. A origem histórica da teoria das probabilidades está vinculada a teoria dos jogos de azar e aos nomes de Fermat e Pascal, que na metade do século XVII formalizaram pela primeira vez o conceito de probabilidade.

No contexto de um jogo e do ponto de vista de um jogador, consideram-se o conjunto de todos os resultados ou casos possíveis, sendo feita uma partição em dois subconjuntos: o dos resultados favoráveis e o dos não favoráveis (ao jogador). Assim a probabilidade do jogador ganhar é definida por:

P= número de casos favoráveis/número de casos possíveis.

Um exemplo simples é o lançamento de um dado. Caso o jogador aposte no número 5, qual seria a probabilidade de ganhar o prêmio? Nesse caso, temos P(5) = 1/6 = 0,167 ou seja, 16,7%.

Outro exemplo, um pouco mais moderno, mas ainda envolvendo lançamento de dados, é o jogo de RPG “Dungeons & Dragons”. Nesse jogo, é muito comum o uso de um dado com 20 faces. Frequentemente, o jogador precisa lançar esse dado especial para realizar uma ação. Por exemplo, quando o personagem do jogador, um valoroso guerreiro, quer acertar um golpe certeiro em um dragão, ele deve lançar o dado contra um número-alvo estipulado pelo “mestre do jogo” (Dungeon Master). Vamos supor que esse número seja igual a 18. Qual a probabilidade do guerreiro golpear com sucesso o monstro? Nesse caso, o sucesso é possível com os resultados 18, 19 e 20, ou seja, temos 3 casos de sucesso, em 20 possibilidades. Assim, temos que P(18, 19, 20) = 3/20 = 0,15 , ou seja, 15% de chance de sucesso de acertar um único golpe. Levando em conta que são necessários muitos golpes para derrotar um dragão, vemos que essa tarefa não é das mais simples…

Nesses dois exemplos, está implícito que os dados devem ser equilibrados. E temos também um outro problema: como calcular, por exemplo, a probabilidade de que o peso uma peça de picanha para o seu churrasco esteja entre os 1,2 e 2 kg? A definição que apresentamos anteriormente levaria a uma indeterminação do tipo infinito dividido por infinito (neste caso, se A for finito P(A)=0 e se A for infinito P(A) é indeterminado; este problema acontecerá com qualquer variável contínua!!!).

Dessa maneira, a probabilidade clássica tem duas importantes restrições para que funcione adequadamente:

  1. Todos os casos possíveis devem ter a mesma probabilidade (ou, em uma linguagem técnica, equiprobabilidade dos elementos do espaço dos resultados);
  2. Deverá haver um número finito de casos possíveis (finitude do espaço dos resultados).

Pensando em todos esses conceitos e utilizando o formalismo matemático, podemos descrever a probabilidade clássica da seguinte forma:

Seja um conjunto S finito. Se A é um subconjunto de ou igual a S (A contido em S), então

Temos então as seguintes propriedades: P(A) = n° elementos em A/n° elementos em S

  1. Para todo A contido em S temos que 0 < P(A) <1 ou seja, a probabilidade de acontecer nunca será menor que zero e nunca será maior que 100%. Utilizando o primeiro exemplo do dado, P(5) = 1/6.
  2. P(S) = 1 ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer em todo o conjunto será igual a 1 (ou 100%). No exemplo do dado, P(1, 2, 3, 4, 5, 6) = 6/6 = 1.

Problemas de contagem

Outro exemplo que remete a origem da probabilidade clássica. Você saberia calcular a probabilidade de se obter um Royal Straight Flush na primeira mão em um jogo de Poker? O Royal Straigh Flush é uma sequência 10-J-Q-K-A, todos do mesmo naipe. Esse é um tipo de problema bastante complexo do ponto de vista da probabilidade clássica, uma vez que é preciso saber exatamente qual é o número total de possibilidades. Saber esse número total de possibilidade é um problema típico de contagem.

Um problema de contagem, basicamente, é a ideia de que o número de possibilidades de fazer n ações distintas e independentes é a multiplicação da quantidade de modos possíveis que cada uma pode ser feita. Para entendermos melhor, considere a seguinte situação:

João é uma pessoa minimalista, mas extremamente criativa. Ele possui apenas 4 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ele consegue se vestir, combinando todas as peças de seu guarda-roupas?

Observe os diagramas abaixo. Neles estão contidas todas a possibilidades em que o João pode se vestir.

Uma maneira mais simplificada de resolver tal situação consiste em determinar a multiplicação entre a quantidade de elementos de cada conjunto, ou seja:

4 (camisas) X 3 (calças) X 2 (meias) X 2 (sapatos) = 48 combinações

Isso é chamado de princípio fundamental da contagem. Mas e se houvesse alguma restrição no uso desse figurino, como calcular o número de possibilidades de maneira simples? Problemas de contagem desse tipo deram origem ao que chamamos de análise combinatória, ou seja, resolver um problema de contagem seguindo alguns critérios. Alguns conceitos de importantes de combinatória são:

  • Permutação simples: os elementos que compõem o conjunto mudam de ordem, ou seja, de posição.
  • Permutação com repetição: alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos e devem sem excluídos da contagem.
  • Arranjo simples: a localização de cada elemento do conjunto forma diferentes agrupamentos, devemos levar em consideração, a ordem de posição do elemento e sua natureza, além disso, devemos saber que ao mudar os elementos de posição isso causa diferenciação entre os agrupamentos.
  • Combinação simples: em um agrupamento mudamos somente a ordem dos elementos distintos.

Com esses conceitos de análise combinatória em mente, vamos voltar ao Royal Straigh Flush. Um baralho de Poker tem 52 cartas, 13 de cada naipe, do 2 ao A. Cada mão utiliza 5 cartas em um arranjo simples. Portanto, o número de maneiras diferentes que podemos pegar 5 cartas de um conjunto de 52 é 311875200.

Mas, no arranjo simples, calcula-se os agrupamentos ordenados de 5 cartas distintas, que podem ser formadas com as 52 cartas do jogo, ou seja, a ordem das cartas modifica o grupo. Para um jogo de Poker não importa a ordem na qual um jogador recebe as cartas. Trata-se da ordem na qual as cartas são retiradas do maço e não da ordem para a mão, pois para obter uma sequência não precisa retirar as 5 cartas já na ordem da sequência. Assim, existem 5! = 120 modos diferentes de arranjar as 5 cartas, reduzindo assim em 120 vezes o número do arranjo simples, isto é 311875200 / 120 = 2598960. Ou seja, o número total de casos possível é igual a 2598960.

Considerando que para um Royal Straight Flush só existem 4 possibilidades dentro desse universo (isto é, 1 para cada naipe), então temos que P(Royal Straight Flush) = 4/2598960 = 0,00015%.

ou então 1 chance em 649740. Para outras possíveis mãos (um Flush, um Full House, etc), as probabilidades são mais favoráveis, e conforme essa probabilidade aumenta, menos valiosa se torna sua mão. A tabela abaixo ilustra as combinações possíveis e as probabilidades para cada uma das mãos, sempre utilizando o mesmo raciocínio.

MãoCombinaçãoProbabilidade
Royal Straigh Flush

(Sequência Real)

40,000001539
Straigh Flush

(Sequência de Naipe)

360,000013852
Four of Kind

(Quadra)

6240,000240096
Full House

(uma trinca e um par)

37440,001440576
Flush

(todas do mesmo Naipe)

51080,001965402
Straight

(Sequência)

102000,003924647
Three of Kind

(trinca)

549120,021128451
Two Pair

(dois pares)

1235520,047539016
One Pair

(um par)

10982400,422569028
Nada

 

13025400,501177394

 

Claro, essas probabilidades foram calculadas com relação a primeira mão de 5 cartas que o jogador recebe. Nas regras do jogo, existem as possibilidades de trocas, o que melhoram um pouco as probabilidades, porém, o raciocínio é bastante similar. Além disso, há também variações do jogo, como o Texas Hold’em, que mudam a dinâmica por mudarem as probabilidades.

O uso desse conceito de probabilidade clássica tem as suas restrições, mas também tem aplicações de ordem prática. Imagine a seguinte situação:

Um processo de fabricação possui PPM=6680 de itens defeituosos. Sabendo que são fabricados lotes de 1000 peças, qual probabilidade de escolher aleatoriamente uma peça defeituosa em um lote recém fabricado?

Nesse processo, em 1 milhão de peças, temos 6680 itens defeituosos. Para um lote de 1000 peças, temos então 6,68 peças defeituosas. Ou seja P = 6,68/1000 = 0,668%.

Isto é, a chance de encontrar uma única peça defeituosa nesse lote recém fabricado, a princípio, seria menor que 1%, ou algo entre tirar uma Flush e um Full House em um jogo de Poker na primeira mão recebida. Porém, para esse tipo de problema, devemos usar uma outra abordagem, a probabilidade frequentista, já que os resultados anteriores afetam o resultado esperado. Mas isso é uma outra história…

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